logika dasar

BAB  I 

DASAR-DASAR LOGIKA   

1.1  Pendahuluan

Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir.  Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid. Berpikir logis digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu komputer untuk menguji kebenaran dari program dan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu pengetahuan alam untuk menarik kesimpulan dari eksperimen-eksperimen, dalam ilmu pengetahuan sosial dan dalam kehidupan sehari-hari untuk menyelesaikan banyak masalah.  Tentu saja, kita tak hentihentinya menggunakan pemikiran yang  logis.     

Dalam logika kita tertarik kepada benar atau salahnya dari pernyataanpernyataan (statemen-statemen), dan bagaimana kebenaran/kesalahan dari suatu statemen dapat ditentukan dari statemen-statemen lain. Akan tetapi, sebagai pengganti dari statemen-statemen spesifik, kita akan menggunakan simbol-simbol untuk menyajikan sebarang statemen-statemen sehingga hasilnya dapat digunakan dalam banyak kasus yang serupa.  

  

1.2   Pernyataan 

 Unit terkecil yang berhubungan dengan logika (proposisional) adalah kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sebarang kalimat tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.  Jenis kalimat ini disebut pernyataan atau statemen (statement).

Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu sebuah pernyataan.  Hanyalah kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan sesuatu” (kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan.  Akan tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan sebagai pernyataan.

 1

Jadi,  pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.  Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi (propositions) atau kalimat tertutup.

Jika sebuah pernyataan benar, maka pernyataan tersebut dikatakan mempunyai nilai kebenaran “benar”;  jika sebuah pernyataan salah,  maka nilai kebenarannya adalah “salah”.  Contoh 1.1

Berikut ini adalah contoh pernyataan:

(a)  Bumi adalah bulat. (b)  2 3 5+ = . (c) Air adalah benda padat (d) Temperatur pada permukaan planet Venus adalah  8000F. (e)  Matahari akan terbit besok pagi.

Kalimat (a) dan (b) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “benar”. Kalimat (c) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “salah”.  Kalimat (d) adalah kalimat deklaratif yang nilai benar atau salahnya kita tidak tahu pada saat ini.; akan tetapi pada prinsipnya kita dapat menentukan nilai kebenarannya sehingga (d) adalah pernyataan.  Kalimat (e) adalah pernyataan karena bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya, meskipun kita harus menunggu sampai besok pagi untuk memastikan nilai kebenarannya.  Contoh 1.2

Berikut ini adalah contoh bukan pernyataan:

(a)  Bukalah pintu itu! (b)  Apakah anda dapat berbahasa Cina?. (c) xlebih besar dari 3 ( x adalah variabel yang menunjukkan bilangan).

 Kalimat (a) adalah perintah dan kalimat (b) adalah pertanyaan.  Kalimat (c) bukan pernyataan karena nilai tertentu yang diberikan untuk x kita tidak dapat mengatakan apakah bernilai benar (lebih besar 3) atau salah (lebih kecil atau sama dengan 3).  

 2

 

1.3  Pernyataan Majemuk dan Penghubung Logika 

1.3.1  Pernyataan Majemuk Kalimat-kalimat sederhana yang benar atau salah adalah dasar dari

pernyataan. Kalimat-kalimat yang lebih besar dan kompleks dapat dikonstruksi dari pernyataan dasar dengan mengkombinasikannya dengan penghubung logika (connectives). Jadi, proposisi dan penghubung logika adalah unsur dasar dari logika proposisional.  

Dalam matematika,  huruf-huruf  , , ,...x y z  melambangkan variabel yang dapat diganti dengan bilangan riil dan variabel-variabel ini dapat dikombinasikan

dengan operasi hitung   +,  ·,  -, dan  ‚.  Dalam logika,  huruf-huruf  , , ,...p q r  me- lambangkan variabel-variabel pernyataan, artinya variabel yang dapat diganti

2  adalah bilangan prima  dan 2  adalah bilangan rasional atau

  q dan r .
r

dengan pernyataan.  Contoh 1.3

Berikut ini adalah contoh variabel pernyataan:

:p  2 3 5+ = .

:q  2 adalah bilangan prima.

:r   2  adalah bilangan rasional. 

 Pernyataan-pernyataan yang disajikan dengan huruf-huruf  qp,  dan

 3
 dinamakan sebagai pernyataan primitif.

Variabel-variabel pernyataan dapat digabungkan dengan penghubungpenghubung logika untuk memperoleh pernyataan majemuk (compound statements).  Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan majemuk hanya bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya (komponenkomponennya) dan pada jenis penghubung logika yang digunakan.  Sebagai contoh, kita dapat mengkombinasikan variabel-variabel pernyataan dalam Contoh 1.3 dengan penghubung dan (and) untuk membentuk pernyataan majemuk

 

 Hubungan dari nilai kebenaran pernyataan majemuk dan variabel-variabel penyusunnya dapat disajikan dengan sebuah tabel.  Tabel ini menyajikan nilai dari sebuah pernyataan majemuk untuk semua nilai yang mungkin dari variabelvariabel penyusunnya dan disebut tabel kebenaran (truth table).  Dalam membuat tabel kebenaran, ditulis “T” untuk benar (True) dan “F” untuk salah. (False) 

1.3.2   Penghubung Logika

 Ada lima jenis penghubung logika yang dapat dipakai untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan menjadi pernyataan majemuk, yaitu: negasi (negation),  konjungsi (conjunction), disjungsi (disjunction), implikasi (implication) , dan  biimplikasi (biimplication).  Tabel 1.1  menyajikan jenis, simbol dan bentuk dari lima penghubung logika.  

Tabel 1.1  

Jenis Penghubung Simbol Bentuk

Negasi (Not)   atau ~  tidak … Konjungsi (And)   …dan…

Disjungsi (Or)   …atau… Implikasi   Jika… maka…

Biimplikasi    …jika dan hanya jika…

 Prioritas dari penghubung-penghubung logika disajikan dalam Tabel 1.2 .  Penghubung dengan prioritas lebih tinggi harus diselesaikan lebih dahulu.

Tabel 1.2 Penghubung Prioritas

Negasi (Not) 5

Konjungsi (And) 4

Disjungsi (Or) 3

Implikasi 2

Biimplikasi 1

 4

 

Untuk mereduksi jumlah tanda (simbol) dan bentuk digunakan perjanjian “Tanda kurung dapat dihilangkan apabila pernyataan dapat dikonstruksi dengan prioritas penghubung”.  1.  Negasi  Misalkan  p  sebuah pernyataan. Negasi (ingkaran) dari p adalah

pernyataan tidak p , yang dilambangkan dengan  p  atau  ~ p .  Jadi,  jika p  bernilai benar,  maka  p  bernilai salah, dan jika  p  bernilai salah, maka p   bernilai benar.  Tabel kebenaran  p  relatif terhadap p disajikan dalam Tabel 1.3.  

Tabel 1.3

p  p   

T F

F T 

Contoh 1.4

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: (a)   : 2 3 5p + >  

(b)   : 5 2 3q - =  (c)   :r Hari ini hujan

 Penyelesaian: (a)   : 2 3 5p  + £  

(b)  : 5 2 3q  - „  (c)   :r  Hari ini tidak hujan.

 2.  Konjungsi  Misalkan  p  dan q  adalah pernyataan. Konjungsi dari p  dan q  adalah

pernyataan majemuk “ p dan q ”, yang dilambangkan dengan  p q  .  Pernyataan majemuk p q   bernilai benar jika p dan q keduanya benar.  Pernyataan majemuk p q   bernilai salah jika salah satu p atau q  salah, atau p dan q  keduanya salah.  Tabel kebenaran  p q   disajikan dalam Tabel 1.4.  

 5

 

Tabel 1.4 

p  q  p q   

T T T

T F F

F T F

F F F   

Contoh 1.5

Bentuklah konjungsi dari  p  dan q : (a)   : 2 3 5p + > ;    : 5 2 3q - =  (b)   : 3 7p - > - ;    : 3 5q <  (c)   :p 2  adalah bilangan prima;    : 2 4q <  

 Penyelesaian:

(a)   : 2 3 5 dan 5 2 3p q  + > - =       (F) (b)      : 3 7 dan 3<5p q  - > -      (T) (c)       : 2 adalah bilangan prima dan 2 4p q  <      (T)

 3.  Disjungsi  Disjungsi (inklusif) dari pernyataan-pernyataan p  dan q adalah pernyataan

majemuk “ p atau q ”, yang dilambangkan dengan p q   .   Pernyataan majemuk

p q   bernilai benar jika salah satu p atau q benar atau kedua-duanya benar.  Dalam praktek, kadang-kadang ditulis “dan/atau”.  Sedangkan kata ”atau” dalam

arti eksklusif dilambangkan dengan   .   Pernyataan majemuk p q   bernilai benar jika salah satu benar tetapi tidak keduanya p atau q benar.  Tabel kebenaran 

p q   dan   p q   disajikan dalam Tabel 1.5.   

  

 6

 

Tabel 1.5  

p  q p q   
p q   

 7
T T T F

T F T T

F T T T

F F F F  Contoh 1.6

Bentuklah disjungsi dari  p  dan q : (a)   : 2 3 5; : 5 3p q+ „ <     

(b)   :p 2  adalah bilangan prima;    : 2q  adalah bilangan rasional. Penyelesaian:

(a)   : 2 3 5 atau 5 3p q  + „ <              (F) (b)   p q  :  2 adalah bilangan prima  atau 2  adalah bilangan rasional (T).

 4.  Implikasi  Misalkan  p  dan q  adalah pernyataan. Pernyataan majemuk “jika p , maka

q ”, yang dilambangkan dengan  qp    disebut pernyataan bersyarat atau implikasi.  Pernyataan p disebut hipotesis atau anteseden (antecedent) dan q  disebut konklusi atau konsekuen (consequent). Pernyataan majemuk qp    bernilai salah jika  p  benar dan q  salah.  Dalam kemungkinan lainnya, qp    bernilai benar.  Tabel kebenaran  qp    disajikan dalam Tabel 1.6.  

Tabel 1.6 

p  q qp    

T T T

T F F

F T T

F F T

Contoh 1.7

Tulislah implikasi  dari  p  dan  q :

a)   :p Saya lapar;    :q Saya akan makan    b)   :p 2  adalah bilangan prima;    : 2 4q <  

 Penyelesaian:

a)   Jika saya lapar,  maka saya akan makan   b)   Jika  2 adalah bilangan prima,  maka 2 4< .

 

 Dalam matematika (praktek), pernyataan-pernyataan berikut merupakan bentuk yang ekuivalen, artinya jika salah satu benar maka semua yang lain juga benar  dan jika salah satu salah, semua yang lain juga salah.

(a)  Jika  p  , maka  q .  (b)   p  mengimplikasi q.  (c)   Jika  p ,    q . (d)   p  hanya jika q. 

           (d)   q   jika p .             (e)   p  adalah syarat cukup untuk  q .             (f)   q  adalah syarat perlu untuk p .   (g)    q   bilamana saja p . 

   5.  Biimplikasi (ekuivalensi)  Misalkan  p  dan q adalah pernyataan.  Pernyataan majemuk “ p jika dan

hanya jika q ”, yang dilambangkan dengan  p q   disebut biimplikasi atau ekuivalensi.  Tabel kebenaran  p q   disajikan dalam Tabel 1.7.  Pernyataan majemuk p q   bernilai benar jika  p  dan q keduanya benar atau keduanya salah.   Biimplikasi p q   juga dinyatakan sebagai  p  adalah syarat perlu dan cukup untuk q.

 8

 

Tabel 1.7  

p  q p q   

T T T

T F F

F T F

F F T  

Contoh 1.8

Apakah biimplikasi  berikut benar?

3 4<   jika dan hanya jika  .034 >

 Penyelesaian: Misalkan p  adalah pernyataan  3 4<  dan q  adalah pernyataan 034 >. 

Karena  p   dan  q   keduanya  bernilai  benar,   maka  disimpulkan  bahwa

p q   bernilai benar.

Secara umum,  sebuah pernyataan majemuk mungkin mempunyai banyak  

bagian komponen, masing-masing dari komponen ini merupakan pernyataan yang disajikan dengan variabel-variabel pernyataan.  Pernyataan majemuk

))((: rpqps      

3memuat tiga pernyataan  p  , q   dan  r ,  masing-masing pernyataan secara independen bisa bernilai benar atau salah.  Secara keseluruhan terdapat  82=  kombinasi yang mungkin dari nilai-nilai untuk p  , q   dan  r  ,  dan tabel kebenaran 

untuk s   harus memberikan nilai benar atau salahnya  s  dalam semua kasus. Jika pernyataan majemuk  s  memuat  n pernyataan komponen ,  maka

Langkah 1.  n  kolom pertama dari tabel kebenaran  diberi label variabel-variabel pernyataan komponen.  Kolom-kolom selanjutnya dikonstruksi untuk semua kombinasi-kombinasi pernyataan  berikutnya, dan kolom terakhir untuk pernyataan yang ditanyakan.

 9

n

akan ada  
2  unsur  yang diperlukan dalam tabel kebenaran s .  Tabel kebenaran ini dapat dikonstruksi  secara sistematis dengan langkah-langkah sebagai berikut:

kebenaran sisanya.

Contoh 1.9

Buatlah  tabel kebenaran untuk pernyataan-pernyataan majemuk berikut: a)   )( qp      
n

b)   )()( pqqp        

p  q q   qp     
)( qp      

Langkah 2.  Terhadap masing-masing n  bagian atas pertama,  kita tulis 
2  kemungkinan kemungkinan ( n -tuple) nilai-nilai kebenaran dari pernyataan komponen  s.  Masing-masing n -tuple ditulis pada baris

terpisah. Langkah 3.    Untuk setiap baris kita memperhitungkan (dalam urutan) semua nilai

Penyelesaian:  Tabel kebenaran berikut dikonstruksi menggunakan ketiga langkah di atas. a)      Tabel 1.8

T T T F F T T

T F F F T F T

F T T T F T T

F F T T T T T 

  

T T F F T

T F T T F

F T F F T

F F T F F   b)     Tabel 1.9

p  q  qp    p   q   pq      
 10
)()( pqqp        

Posted in: dasar-dasar logika