Silogisme

Silogisme
Silogisme merupakan suatu cara penalaran yang formal. Penalaran dalam bentuk ini jarang ditemukan/dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Kita lebih sering mengikuti polanya saja, meskipun kadang-kadang secara tidak sadar. Misalnya ucapan “Ia dihukum karena melanggar peraturan “X”, sebenarnya dapat  kita kembalikan ke dalam bentuk formal berikut:
a. Barang siapa melanggar peraturan “X” harus dihukum.
b. Ia melanggar peraturan “X”
c. la harus dihukum.
Bentuk seperti itulah yang disebut silogisme. Kalimat pertama (premis ma-yor) dan kalimat kedua (premis minor) merupakan pernyataan dasar untuk menarik kesimpulan (kalimat ketiga).
Pada contoh, kita lihat bahwa ungkapan “melanggar …” pada premis (mayor) diulangi dalam (premis minor). Demikian pula ungkapan “harus dihukum” di dalam kesimpulan. Hal itu terjadi pada bentuk silogisme yang standar.
Akan tetapi, kerap kali terjadi bahwa silogisme itu tidak mengikuti bentuk standar seperti itu.
Misalnya:
- Semua yang dihukum itu karena melanggar peraturan
- Kita selalu mematuhi peraturan
- Kita tidak perlu cemas bahwa kita akan dihukum.
Pernyataan itu dapat dikembalikan menjadi:
a. Semua yang melanggar peraturan harus dihukum
b. Kita tidak pernah melanggar (selalu mematuhi) peraturan
c. Kita tidak dihukum.
Secara singkat silogisme dapat dituliskan
JikaA=B dan B=C maka A=C
Silogisme terdiri dari ; Silogisme Katagorik, Silogisme Hipotetik dan Silogisme Disyungtif.

Silogisme Katagorik
Silogisme Katagorik adalah silogisme yang semua proposisinya merupakan katagorik. Proposisi yang mendukung silogisme disebut dengan premis yang kemudian dapat dibedakan dengan premis mayor (premis yang termnya menjadi predikat), dan premis minor ( premis yang termnya menjadi subjek). Yang menghubungkan diantara kedua premis tersebut adalah term penengah (middle term).
Contoh :
Semua Tanaman membutuhkan air (premis mayor)
……………….M……………..P
Akasia adalah Tanaman (premis minor)
….S……………………..M
Akasia membutuhkan air (konklusi)
….S……………..P
(S = Subjek, P = Predikat, dan M = Middle term)
Hukum-hukum Silogisme Katagorik
Apabila dalam satu premis partikular, kesimpulan harus parti¬kular juga, seperti:
Semua yang halal dimakan menyehatkan
Sebagian makanan tidak menyehatkan,
Jadi Sebagian makanan tidak halal dimakan
(Kesimpulan tidak boleh: Semua makanan tidak halal
dimakan).
Apabila salah satu premis negatif, kesimpulan harus negatif juga, seperti:
Semua korupsi tidak disenangi.
Sebagian pejabat adalah korupsi, jadi
Sebagian pejabat tidak disenangi.
(Kesimpulan tidak boleh: Sebagian pejabat disenangi)
Dari dua premis yang sama-sama partikular tidak sah diambil kesimpulan.
Beberapa politikus tidak jujur.
Banyak cendekiawan adalah politikus, jadi:
Banyak cendekiawan tidak jujur.
Jadi: Beberapa pedagang adalah kikir. Kesimpulan yang diturunkan dari premis partikular tidak pernah menghasilkan kebenaran yang pasti, oleh karena itu kesimpulan seperti:
Sebagian besar pelaut dapat menganyam tali secara bai
Hasan adalah pelaut, jadi:
Kemungkinan besar Hasan dapat menganyam tali secara baik adalah tidak sah. Sembilan puluh persen pedagang pasar Johar juju Kumar adalah pedagang pasar Johar, jadi: Sembilan puluh persen Kumar adalah jujur.
1) Dari dua premis yang sama-sama negatit, tidak mendapat  kesimpulan apa pun, karena tidak ada mata rantai ya hubungkan kedua proposisi premisnya. Kesimpul diambil bila sedikitnya salah satu premisnya positif. Kesimpulan yang ditarik dari dua premis negatif adalah tidak sah.
Kerbau bukan bunga mawar.
Kucing bukan bunga mawar.
….. (Tidak ada kesimpulan) Tidak satu pun drama yang baik mudah dipertunjukk Tidak satu pun drama Shakespeare mudah dipertunju Jadi: Semua drama Shakespeare adalah baik. (Kesimpulan tidak sah)
2) Paling tidak salah satu dari term penengah haru: (mencakup). Dari dua premis yang term penengahnya tidak ten menghasilkan kesimpulan yang salah, seperti:
Semua ikan berdarah dingin.
Binatang ini berdarah dingin
Jadi: Binatang ini adalah ikan.
(Padahal bisa juga binatang melata)
3) Term-predikat dalam kesimpulan harus konsisten dengan term redikat yang ada pada premisnya. Bila tidak, kesimpulan lenjadi salah, seperti
Kerbau adalah binatang.
Kambing bukan kerbau.
Jadi: Kambing bukan binatang.
(‘Binatang’ pada konklusi merupakan term negatif sedang-
kan pada premis adalah positif)
4) Term penengah harus bermakna sama, baik dalam premis layor maupun premis minor. Bila term penengah bermakna mda kesimpulan menjadi lain, seperti:
Bulan itu bersinar di langit.
Januari adalah bulan.
Jadi: Januari bersinar di langit.
(Bulan pada premis minor adalah nama dari ukuran waktu
yang panjangnya 31 hari, sedangkan pada premis mayor
berarti planet yang mengelilingi bumi).
5) Silogisme harus terdiri tiga term, yaitu term subjek, preidkat, dan term menengah ( middle term ), begitu juga jika terdiri dari dua atau lebih dari tiga term tidak bisa diturunkan komklsinya.
Silogisme Hipotetik
Silogisme Hipotetik adalah argumen yang premis mayornya berupa proposisi hipotetik, sedangkan premis minornya adalah proposisi katagorik.
Ada 4 (empat) macam tipe silogisme hipotetik:
1. Silogisme hipotetik yang premis minornya mengakui bagian antecedent, seperti:
Jika hujan, saya naik becak.
Sekarang hujan.
Jadi saya naik becak.
2. Silogisme hipotetik yang premis minornya mengakui bagiar konsekuennya, seperti:
Bila hujan, bumi akan basah.
Sekarang bumi telah basah.
Jadi hujan telah turun.
3. Silogisme hipotetik yang premis minornya mengingkari antecedent, seperti:
Jika politik pemerintah dilaksanakan dengan paksa, maka
kegelisahan akan timbul.
Politik pemerintahan tidak dilaksanakan dengan paksa,
Jadi kegelisahan tidak akan timbul.
4. Silogisme hipotetik yang premis minornya mengingkari bagian konsekuennya, seperti:
Bila mahasiswa turun ke jalanan, pihak penguasa akan gelisah Pihak penguasa tidak gelisah.
Jadi mahasiswa tidak turun ke jalanan.
Hukum-hukum Silogisme Hipotetik
Mengambil konklusi dari silogisme hipotetik jauh lebih mudah dibanding dengan silogisme kategorik. Tetapi yang penting di sini dalah menentukan ‘kebenaran konklusinya bila premis-premisnya merupakan pernyataan yang benar.
Bila antecedent kita lambangkan dengan A dan konsekuen .engan B, jadwal hukum silogisme hipotetik adalah:
1) Bila A terlaksana maka B juga terlaksana.
2) Bila A tidak terlaksana maka B tidak terlaksana. (tidak sah = salah)
3) Bila B terlaksana, maka A terlaksana. (tidak sah = salah)
4) Bila B tidak terlaksana maka A tidak terlaksana.
Kebenaran hukum di atas menjadi jelas dengan penyelidikan
berikut:
Bila terjadi peperangan harga bahan makanan membubung tinggi
Nah, peperangan terjadi.
Jadi harga bahan makanan membubung tinggi.( benar = terlaksana)
Benar karena mempunyai hubungan yang diakui kebenarannya
Bila terjadi peperangan harga bahan makanan membubung tinggi
Nah, peperangan terjadi.
Jadi harga bahan makanan tidak membubung tinggi (tidak sah = salah)
Tidak sah karena kenaikan harga bahan makanan bisa disebabkan oleh sebab atau faktor lain.
Silogisme Disyungtif
Silogisme Disyungtif adalah silogisme yang premis mayornya keputusan disyungtif sedangkan premis minornya kategorik yang mengakui atau mengingkari salah satu alternatif yang disebut oleh premis mayor.Seperti pada silogisme hipotetik istilah premis mayor dan premis minor adalah secara analog bukan yang semestinya.
Silogisme ini ada dua macam, silogisme disyungtif dalam arti
sempit dan silogisme disyungtif dalam arti luas. Silogisme disyungtif
dalam arti sempit mayornya mempunyai alternatif kontradiktif,
seperti:
la lulus atau tidak lulus.
Ternyata ia lulus, jadi
la bukan tidak lulus.
Silogisme disyungtif dalam arti luas premis mayomya mempunyai alternatif bukan kontradiktif, seperti:
Hasan di rumah atau di pasar.
Ternyata tidak di rumah.
Jadi di pasar.
Silogisme disyungtif dalam arti sempit maupun arti luas mempunyai dua tipe yaitu:
1) Premis minornya mengingkari salah satu alternatif, konklusi-nya adalah mengakui alternatif yang lain, seperti:
la berada di luar atau di dalam.
Ternyata tidak berada di luar.
Jadi ia berada di dalam.
Ia berada di luar atau di dalam.
ternyata tidak berada di dalam.
Jadi ia berada di luar.
2) Premis minor mengakui salah satu alternatif, kesimpulannya adalah mengingkari alternatif yang lain, seperti:
Budi di masjid atau di sekolah.
la berada di masjid.
Jadi ia tidak berada di sekolah.
Budi di masjid atau di sekolah.
la berada di sekolah.
Jadi ia tidak berada di masjid.
Hukum-hukum Silogisme Disyungtif
1. Silogisme disyungtif dalam arti sempit, konklusi yang dihasilkan selalu benar, apabila prosedur penyimpulannya valid, seperti :
Hasan berbaju putih atau tidak putih.
Ternyata berbaju putih.
Jadi ia bukan tidak berbaju putih.
Hasan berbaju putih atau tidak putih.
Ternyata ia tidak berbaju putih.
Jadi ia berbaju non-putih.
2. Silogisme disyungtif dalam arti luas, kebenaran koi adalah sebagai berikut:
a. Bila premis minor mengakui salah satu alterna konklusinya sah (benar), seperti:
Budi menjadi guru atau pelaut.
la adalah guru.
Jadi bukan pelaut
Budi menjadi guru atau pelaut.
la adalah pelaut.
Jadi bukan guru
b. Bila premis minor mengingkari salah satu a konklusinya tidak sah (salah), seperti:
Penjahat itu lari ke Solo atau ke Yogya.
Ternyata tidak lari ke Yogya.
Jadi ia lari ke Solo. (Bisa jadi ia lari ke kota lain).
Budi menjadi guru atau pelaut.
Ternyata ia bukan pelaut.
Jadi ia guru. (Bisa j’adi ia seorang pedagang).

Read more »

logika lagi

Dasar-dasar Logika

Logika
Pikiran manusia pada hakikatnya selalu mencari dan berusaha untuk memperoleh kebenaran. Karena itu pikiran merupakan suatu proses. Dalam proses tersebut haruslah diperhatikan kebenaran bentuk dapat berpikir logis. Kebenaran ini hanya menyatakan serta mengandaikan adanya jalan, cara, teknik, serta hukum-hukum yang perlu diikuti. Semua hal ini diselidiki serta dirumuskan dalam logika.
Secara singkat logika dapat dikataka sebagai ilmu pengetahuan dan kemampuian untuk berpikir lurus. Ilmu pengetahuan sendiri adalah kumpulan pengetahuan tentang pokok tertentu. Kumpulan ini merupakan suatu kesatuan yang sistematis serta memberikan penjelasan yang dapat dipertanggungjawabkan. Penjelasan ini terjadi dengan menunjukkan sebab musababnya.
Logika juga termasuk dalam ilmu pengetahuan yang dijelaskan diatas. Kajian ilmu logika adalah azas-azas yang menentukan pemikiran yang lurus, tepat, dan sehat. Agar dapat berpikir seperti itu, logika menyelidiki, merumuskan, serta menerapkan hukum-hukum yang harus ditepati. Hal ini menunjukkan bahwa logika bukanlah sebatas teori, tapi juga merupakan suatu keterampilan untuk menerapkan hukum-hukum pemikiran dalam praktek. Ini sebabnya logika disebut filsafat yang praktis.
Objek material logika adalah berfikir. Yang dimaksud berfikir disini adalah kegiatan pikiran, akal budi manusia. Dengan berfkir, manusia mengolah dan mengerjakan pengetahuan yang telah diperolehnya. Dengan mengolah dan mengerjakannya ia dapat memperoleh kebenaran. Pengolahan dan pegearjaan ini terjadi dengan mempertimbangkan, menguraikan, membandingkan, serta menghubungkan pengertian satu dengan pengertian lainnya.
Tetapi bukan sembarangan berfikir yang diselidiki dalam logika. Dalam logika berfikir dipandang dari sudut kelurusan dan ketepatannya. Karena berfikir lurus dan tepat merupakan objek formal logika. Suatu pemikiran disebut lurus dan tepat, apabila pemikirn itu sesuai dengan hukum-hukum serta aturan-aturan yang sudah ditetapkan dalam logika.
Dengan demikian kebenaran juga dapat diperoleh dengan lebih mudah dan aman. Semua ini menunjukkan bahwa logika merupakan suatu pegangan atau pedoman untuk pemikiran.
Macam-macam logika
Logika dapat dibedakan atas dua macam, namun keduanya tidak dapat dipisahkan.
a. Logika Kodratiah
Akal budi (pikiran) bekerja menurut hukum-hukum logika dengan cara spontan. Tetapi dalam hal-hal tertentu (biasanya dalam masalah yang sulit), akal budi manusia maupun seluruh diri manusia bisa dipengaruhi oleh keinginan-keinginan dan kecenderungan-kecenderungan yang subjektif. selain itu, perkembangan pengetahuan manusia sendiri sangat terbatas.
Hal-hal ini menyebabkan kesesatan tidak terhindarkan. Walaupun sebenarnya dalam diri manusia sendiri juga ada kebutuhan untuk menghindari kesesatan tersebut. Untuk menghindari kesesatan itulah, dibutuhkan ilmu khusus yang merumuskan azaz-azaz yang harus ditepati dalam setiap pemikiran, yaitu logika ilmiah.
b. Logika Ilmiah
Logika ini membantu logika kodratiah. Logika ilmiah memperhalus dan mempertajam akal budi, juga menolong agar akal budi bekerja lebih tepat, lebih teliti, lebih mudah, dan lebih aman. Dengan demikian kesesatan dapat dihindarkan, atau minimal bisa dikurangi dengan kadar tertentu. Logika inilah, yang dimaksud mempunyai hukum-hukum atau azaz-azaz yang harus ditepati.
Dalam penyelidikan hukum-hukum logika, dapat diuraikan bahwa pemikiran manusia terjadi tiga unsur. Yaitu pengertian-pengertian atau kata, kemudian kata atau pengetian itu disusun itu sedemikian tupa sehingga menjadi keputusan-keputusan. Akhirnya keputusan-keputusan itu disusun menjadi penyimpulan-penyimpulan.

Read more »

logika dasar

BAB  I 

DASAR-DASAR LOGIKA   

1.1  Pendahuluan

Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir.  Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid. Berpikir logis digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu komputer untuk menguji kebenaran dari program dan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu pengetahuan alam untuk menarik kesimpulan dari eksperimen-eksperimen, dalam ilmu pengetahuan sosial dan dalam kehidupan sehari-hari untuk menyelesaikan banyak masalah.  Tentu saja, kita tak hentihentinya menggunakan pemikiran yang  logis.     

Dalam logika kita tertarik kepada benar atau salahnya dari pernyataanpernyataan (statemen-statemen), dan bagaimana kebenaran/kesalahan dari suatu statemen dapat ditentukan dari statemen-statemen lain. Akan tetapi, sebagai pengganti dari statemen-statemen spesifik, kita akan menggunakan simbol-simbol untuk menyajikan sebarang statemen-statemen sehingga hasilnya dapat digunakan dalam banyak kasus yang serupa.  

  

1.2   Pernyataan 

 Unit terkecil yang berhubungan dengan logika (proposisional) adalah kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sebarang kalimat tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.  Jenis kalimat ini disebut pernyataan atau statemen (statement).

Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu sebuah pernyataan.  Hanyalah kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan sesuatu” (kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan.  Akan tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan sebagai pernyataan.

 1

Jadi,  pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.  Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi (propositions) atau kalimat tertutup.

Jika sebuah pernyataan benar, maka pernyataan tersebut dikatakan mempunyai nilai kebenaran “benar”;  jika sebuah pernyataan salah,  maka nilai kebenarannya adalah “salah”.  Contoh 1.1

Berikut ini adalah contoh pernyataan:

(a)  Bumi adalah bulat. (b)  2 3 5+ = . (c) Air adalah benda padat (d) Temperatur pada permukaan planet Venus adalah  8000F. (e)  Matahari akan terbit besok pagi.

Kalimat (a) dan (b) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “benar”. Kalimat (c) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “salah”.  Kalimat (d) adalah kalimat deklaratif yang nilai benar atau salahnya kita tidak tahu pada saat ini.; akan tetapi pada prinsipnya kita dapat menentukan nilai kebenarannya sehingga (d) adalah pernyataan.  Kalimat (e) adalah pernyataan karena bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya, meskipun kita harus menunggu sampai besok pagi untuk memastikan nilai kebenarannya.  Contoh 1.2

Berikut ini adalah contoh bukan pernyataan:

(a)  Bukalah pintu itu! (b)  Apakah anda dapat berbahasa Cina?. (c) xlebih besar dari 3 ( x adalah variabel yang menunjukkan bilangan).

 Kalimat (a) adalah perintah dan kalimat (b) adalah pertanyaan.  Kalimat (c) bukan pernyataan karena nilai tertentu yang diberikan untuk x kita tidak dapat mengatakan apakah bernilai benar (lebih besar 3) atau salah (lebih kecil atau sama dengan 3).  

 2

 

1.3  Pernyataan Majemuk dan Penghubung Logika 

1.3.1  Pernyataan Majemuk Kalimat-kalimat sederhana yang benar atau salah adalah dasar dari

pernyataan. Kalimat-kalimat yang lebih besar dan kompleks dapat dikonstruksi dari pernyataan dasar dengan mengkombinasikannya dengan penghubung logika (connectives). Jadi, proposisi dan penghubung logika adalah unsur dasar dari logika proposisional.  

Dalam matematika,  huruf-huruf  , , ,...x y z  melambangkan variabel yang dapat diganti dengan bilangan riil dan variabel-variabel ini dapat dikombinasikan

dengan operasi hitung   +,  ·,  -, dan  ‚.  Dalam logika,  huruf-huruf  , , ,...p q r  me- lambangkan variabel-variabel pernyataan, artinya variabel yang dapat diganti

2  adalah bilangan prima  dan 2  adalah bilangan rasional atau

  q dan r .
r

dengan pernyataan.  Contoh 1.3

Berikut ini adalah contoh variabel pernyataan:

:p  2 3 5+ = .

:q  2 adalah bilangan prima.

:r   2  adalah bilangan rasional. 

 Pernyataan-pernyataan yang disajikan dengan huruf-huruf  qp,  dan

 3
 dinamakan sebagai pernyataan primitif.

Variabel-variabel pernyataan dapat digabungkan dengan penghubungpenghubung logika untuk memperoleh pernyataan majemuk (compound statements).  Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan majemuk hanya bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya (komponenkomponennya) dan pada jenis penghubung logika yang digunakan.  Sebagai contoh, kita dapat mengkombinasikan variabel-variabel pernyataan dalam Contoh 1.3 dengan penghubung dan (and) untuk membentuk pernyataan majemuk

 

 Hubungan dari nilai kebenaran pernyataan majemuk dan variabel-variabel penyusunnya dapat disajikan dengan sebuah tabel.  Tabel ini menyajikan nilai dari sebuah pernyataan majemuk untuk semua nilai yang mungkin dari variabelvariabel penyusunnya dan disebut tabel kebenaran (truth table).  Dalam membuat tabel kebenaran, ditulis “T” untuk benar (True) dan “F” untuk salah. (False) 

1.3.2   Penghubung Logika

 Ada lima jenis penghubung logika yang dapat dipakai untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan menjadi pernyataan majemuk, yaitu: negasi (negation),  konjungsi (conjunction), disjungsi (disjunction), implikasi (implication) , dan  biimplikasi (biimplication).  Tabel 1.1  menyajikan jenis, simbol dan bentuk dari lima penghubung logika.  

Tabel 1.1  

Jenis Penghubung Simbol Bentuk

Negasi (Not)   atau ~  tidak … Konjungsi (And)   …dan…

Disjungsi (Or)   …atau… Implikasi   Jika… maka…

Biimplikasi    …jika dan hanya jika…

 Prioritas dari penghubung-penghubung logika disajikan dalam Tabel 1.2 .  Penghubung dengan prioritas lebih tinggi harus diselesaikan lebih dahulu.

Tabel 1.2 Penghubung Prioritas

Negasi (Not) 5

Konjungsi (And) 4

Disjungsi (Or) 3

Implikasi 2

Biimplikasi 1

 4

 

Untuk mereduksi jumlah tanda (simbol) dan bentuk digunakan perjanjian “Tanda kurung dapat dihilangkan apabila pernyataan dapat dikonstruksi dengan prioritas penghubung”.  1.  Negasi  Misalkan  p  sebuah pernyataan. Negasi (ingkaran) dari p adalah

pernyataan tidak p , yang dilambangkan dengan  p  atau  ~ p .  Jadi,  jika p  bernilai benar,  maka  p  bernilai salah, dan jika  p  bernilai salah, maka p   bernilai benar.  Tabel kebenaran  p  relatif terhadap p disajikan dalam Tabel 1.3.  

Tabel 1.3

p  p   

T F

F T 

Contoh 1.4

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: (a)   : 2 3 5p + >  

(b)   : 5 2 3q - =  (c)   :r Hari ini hujan

 Penyelesaian: (a)   : 2 3 5p  + £  

(b)  : 5 2 3q  - „  (c)   :r  Hari ini tidak hujan.

 2.  Konjungsi  Misalkan  p  dan q  adalah pernyataan. Konjungsi dari p  dan q  adalah

pernyataan majemuk “ p dan q ”, yang dilambangkan dengan  p q  .  Pernyataan majemuk p q   bernilai benar jika p dan q keduanya benar.  Pernyataan majemuk p q   bernilai salah jika salah satu p atau q  salah, atau p dan q  keduanya salah.  Tabel kebenaran  p q   disajikan dalam Tabel 1.4.  

 5

 

Tabel 1.4 

p  q  p q   

T T T

T F F

F T F

F F F   

Contoh 1.5

Bentuklah konjungsi dari  p  dan q : (a)   : 2 3 5p + > ;    : 5 2 3q - =  (b)   : 3 7p - > - ;    : 3 5q <  (c)   :p 2  adalah bilangan prima;    : 2 4q <  

 Penyelesaian:

(a)   : 2 3 5 dan 5 2 3p q  + > - =       (F) (b)      : 3 7 dan 3<5p q  - > -      (T) (c)       : 2 adalah bilangan prima dan 2 4p q  <      (T)

 3.  Disjungsi  Disjungsi (inklusif) dari pernyataan-pernyataan p  dan q adalah pernyataan

majemuk “ p atau q ”, yang dilambangkan dengan p q   .   Pernyataan majemuk

p q   bernilai benar jika salah satu p atau q benar atau kedua-duanya benar.  Dalam praktek, kadang-kadang ditulis “dan/atau”.  Sedangkan kata ”atau” dalam

arti eksklusif dilambangkan dengan   .   Pernyataan majemuk p q   bernilai benar jika salah satu benar tetapi tidak keduanya p atau q benar.  Tabel kebenaran 

p q   dan   p q   disajikan dalam Tabel 1.5.   

  

 6

 

Tabel 1.5  

p  q p q   
p q   

 7
T T T F

T F T T

F T T T

F F F F  Contoh 1.6

Bentuklah disjungsi dari  p  dan q : (a)   : 2 3 5; : 5 3p q+ „ <     

(b)   :p 2  adalah bilangan prima;    : 2q  adalah bilangan rasional. Penyelesaian:

(a)   : 2 3 5 atau 5 3p q  + „ <              (F) (b)   p q  :  2 adalah bilangan prima  atau 2  adalah bilangan rasional (T).

 4.  Implikasi  Misalkan  p  dan q  adalah pernyataan. Pernyataan majemuk “jika p , maka

q ”, yang dilambangkan dengan  qp    disebut pernyataan bersyarat atau implikasi.  Pernyataan p disebut hipotesis atau anteseden (antecedent) dan q  disebut konklusi atau konsekuen (consequent). Pernyataan majemuk qp    bernilai salah jika  p  benar dan q  salah.  Dalam kemungkinan lainnya, qp    bernilai benar.  Tabel kebenaran  qp    disajikan dalam Tabel 1.6.  

Tabel 1.6 

p  q qp    

T T T

T F F

F T T

F F T

Contoh 1.7

Tulislah implikasi  dari  p  dan  q :

a)   :p Saya lapar;    :q Saya akan makan    b)   :p 2  adalah bilangan prima;    : 2 4q <  

 Penyelesaian:

a)   Jika saya lapar,  maka saya akan makan   b)   Jika  2 adalah bilangan prima,  maka 2 4< .

 

 Dalam matematika (praktek), pernyataan-pernyataan berikut merupakan bentuk yang ekuivalen, artinya jika salah satu benar maka semua yang lain juga benar  dan jika salah satu salah, semua yang lain juga salah.

(a)  Jika  p  , maka  q .  (b)   p  mengimplikasi q.  (c)   Jika  p ,    q . (d)   p  hanya jika q. 

           (d)   q   jika p .             (e)   p  adalah syarat cukup untuk  q .             (f)   q  adalah syarat perlu untuk p .   (g)    q   bilamana saja p . 

   5.  Biimplikasi (ekuivalensi)  Misalkan  p  dan q adalah pernyataan.  Pernyataan majemuk “ p jika dan

hanya jika q ”, yang dilambangkan dengan  p q   disebut biimplikasi atau ekuivalensi.  Tabel kebenaran  p q   disajikan dalam Tabel 1.7.  Pernyataan majemuk p q   bernilai benar jika  p  dan q keduanya benar atau keduanya salah.   Biimplikasi p q   juga dinyatakan sebagai  p  adalah syarat perlu dan cukup untuk q.

 8

 

Tabel 1.7  

p  q p q   

T T T

T F F

F T F

F F T  

Contoh 1.8

Apakah biimplikasi  berikut benar?

3 4<   jika dan hanya jika  .034 >

 Penyelesaian: Misalkan p  adalah pernyataan  3 4<  dan q  adalah pernyataan 034 >. 

Karena  p   dan  q   keduanya  bernilai  benar,   maka  disimpulkan  bahwa

p q   bernilai benar.

Secara umum,  sebuah pernyataan majemuk mungkin mempunyai banyak  

bagian komponen, masing-masing dari komponen ini merupakan pernyataan yang disajikan dengan variabel-variabel pernyataan.  Pernyataan majemuk

))((: rpqps      

3memuat tiga pernyataan  p  , q   dan  r ,  masing-masing pernyataan secara independen bisa bernilai benar atau salah.  Secara keseluruhan terdapat  82=  kombinasi yang mungkin dari nilai-nilai untuk p  , q   dan  r  ,  dan tabel kebenaran 

untuk s   harus memberikan nilai benar atau salahnya  s  dalam semua kasus. Jika pernyataan majemuk  s  memuat  n pernyataan komponen ,  maka

Langkah 1.  n  kolom pertama dari tabel kebenaran  diberi label variabel-variabel pernyataan komponen.  Kolom-kolom selanjutnya dikonstruksi untuk semua kombinasi-kombinasi pernyataan  berikutnya, dan kolom terakhir untuk pernyataan yang ditanyakan.

 9

n

akan ada  
2  unsur  yang diperlukan dalam tabel kebenaran s .  Tabel kebenaran ini dapat dikonstruksi  secara sistematis dengan langkah-langkah sebagai berikut:

kebenaran sisanya.

Contoh 1.9

Buatlah  tabel kebenaran untuk pernyataan-pernyataan majemuk berikut: a)   )( qp      
n

b)   )()( pqqp        

p  q q   qp     
)( qp      

Langkah 2.  Terhadap masing-masing n  bagian atas pertama,  kita tulis 
2  kemungkinan kemungkinan ( n -tuple) nilai-nilai kebenaran dari pernyataan komponen  s.  Masing-masing n -tuple ditulis pada baris

terpisah. Langkah 3.    Untuk setiap baris kita memperhitungkan (dalam urutan) semua nilai

Penyelesaian:  Tabel kebenaran berikut dikonstruksi menggunakan ketiga langkah di atas. a)      Tabel 1.8

T T T F F T T

T F F F T F T

F T T T F T T

F F T T T T T 

  

T T F F T

T F T T F

F T F F T

F F T F F   b)     Tabel 1.9

p  q  qp    p   q   pq      
 10
)()( pqqp        

Read more »